Te mostraré cómo agregar un Widget Text seleccionable y RichText en Flutter. Los widgets de Text no tienen función de seleccionar o copiar texto, puede usar el widget de texto seleccionable para crear widgets de texto seleccionables y copiables en Flutter. 

Cómo agregar un widget de texto seleccionable y copiable en Flutter:

Use SlectableText en lugar de Text Widget. Los widgets de texto no tienen funciones seleccionables y copiables.

SelectableText(
  "Hola esto es DATOGEDON, y usted está haciendo texto seleccionable y copiable.",
  style: TextStyle(fontSize: 18),
)

Cómo agregar un widget de RichText seleccionable y copiable en Flutter:

Use el widget SelectableText.rich() para agregar el widget RichText seleccionable en Flutter.

SelectableText.rich(
  TextSpan( 
      style: TextStyle(fontSize: 20),
      children: [
        TextSpan(text:"Hola esto es DATOGEDON,"),
        TextSpan(text:"y usted está haciendo texto seleccionable y copiable.")
      ]
  )
)

Ejemplo de aplicación completa:

import 'package:flutter/material.dart';

void main(){
  runApp(MyApp());
}

class MyApp extends StatelessWidget{
  @override
  Widget build(BuildContext context) {
    return MaterialApp(
      home: Home(),
    );
  }
}

class Home extends StatefulWidget{
  @override
  _HomeState createState() => _HomeState();
}

class _HomeState extends State<Home> { 
  
  @override
  Widget build(BuildContext context) { 
    return  Scaffold(
          appBar: AppBar(
            title: Text("Selectable Text in Flutter"),
            backgroundColor: Colors.redAccent,
          ),
          body: Container( 
            padding: EdgeInsets.all(20),
            alignment: Alignment.center,
            child: Column(
                children: [
                    SelectableText(
                      "Hello this is FlutterCampus, and you are making selectable and copyable text.",
                      style: TextStyle(fontSize: 18),
                    ),

                    SelectableText.rich(
                      TextSpan( 
                          style: TextStyle(fontSize: 20),
                          children: [
                            TextSpan(text:"Hello this is FlutterCampus"),
                            TextSpan(text:"and you are making selectable and copyable text.")
                          ]
                      )
                    )
                ],
            ),
          )
       );
  }
}

Captura de pantalla del resultado:

Fuentes

Fuente: https://www.fluttercampus.com/guide/340/selectable-copy-text-widget-flutter/

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