En este ejemplo, te mostraremos la forma de copiar texto en el portapapeles u obtener el texto del portapapeles con Dart en la aplicación Flutter. La función de copiar y pegar es una función muy común que se usa en las aplicaciones móviles. Consulte el siguiente ejemplo para obtener más detalles.

Copiar Texto

import 'package:flutter/services.dart';

Clipboard.setData(ClipboardData(text: "Texto a copiar"));

Implementando el funcionamiento en un un botón

String _text = "Texto a copiar";

...

ElevatedButton(
  onPressed:(){
    Clipboard.setData(ClipboardData(text: _text));
  }
  child:Text("copiar")
)

Pegar Texto

ClipboardData cdata = await Clipboard.getData(Clipboard.kTextPlain);
String copiedtext = cdata.text;
print(copiedtext);

Implementando el funcionamiento en un botón

ElevatedButton(
  onPressed:(){
    ClipboardData cdata = await Clipboard.getData(Clipboard.kTextPlain);
    String textoCopiado = cdata.text;
    print(textoCopiado);
  }
  child:Text("Pegar")
)

Ejemplo completo

fuente: https://www.fluttercampus.com/guide/87/how-to-copy-paste-text-from-clipboard-with-dart-flutter/